Aritmética Binária
Soma, Subtração e Multiplicação
Soma Binária
A soma binária segue um procedimento similar à soma decimal que conhecemos, onde posicionamos os números um sobre o outro e somamos os dígitos individualmente, prestando atenção ao “vai um” (carry-over). O “vai um” possui o mesmo significado em outras bases, incluindo a binária.
Para analisar a soma, podemos observar um exemplo decimal como:
397 + 654 = 1051
Esse processo envolve a soma das parcelas de cada posição (unidades, dezenas, centenas, etc.), considerando o valor posicional (potências da base). O “vai um” ocorre quando a soma excede a capacidade da posição, sendo transferido para a próxima posição mais significativa.
Regras da Soma Binária
Considere a soma de dois números binários, por exemplo:
101011₂ + 100111₂
A operação é feita da direita para a esquerda, bit a bit. As possibilidades para a soma de dois bits (x e y) são:
- 0 + 0 = 0 (Vai Um: 0)
- 0 + 1 = 1 (Vai Um: 0)
- 1 + 0 = 1 (Vai Um: 0)
- 1 + 1 = 0 (Vai Um: 1)
Com um “vai um” da posição anterior, temos:
- 1 + 0 + 0 = 1 (Vai Um: 0)
- 1 + 0 + 1 = 0 (Vai Um: 1)
- 1 + 1 + 0 = 0 (Vai Um: 1)
- 1 + 1 + 1 = 1 (Vai Um: 1)
Exemplos Práticos
- 1011₂ + 1101₂ = 11000₂
- Tente fazer: 111001₂ + 110011₂ = 1101100₂
Overflow em soma sem sinais
Computadores digitais representam números com palavras de dado de tamanho fixo (como 16, 32 ou 64 bits). Quando uma operação exige mais bits do que o disponível, ocorre um overflow (ou underflow).
Exemplo:
Usando 4 bits sem sinal:
1111₂ (15₁₀) + 0001₂ (1₁₀) = 0000₂ (0₁₀) → Overflow!
O resultado deveria ser 16, mas esse número não é suportado em 4 bits.
Subtração Binária
A subtração binária A – B = C, onde A é o minuendo e B o subtraendo, pode ser feita de duas formas:
1. Subtração Tradicional (“Empresta”)
Feita da direita para a esquerda. Se o bit do minuendo for menor que o do subtraendo, empresta-se do bit à esquerda.
Exemplo:
1101₂ – 1011₂ = 0010₂
Limitação:
Funciona apenas se A ≥ B. Se A < B, o método falha e deve-se inverter os números e adicionar sinal negativo, o que para um computador não é viável.
2. Subtração com Complemento de 2
Método mais prático para computadores, pois transforma a subtração em soma.
O complemento de 2 é uma convenção para números binários em que podemos representar números negativos sem utilizar o sinal de (-) menos.
Dessa forma, quando formos usar complemento de 2, devemos saber com quantos bits estamos lidando:
Exemplo de números com 3 bits à direita:
Perceba que, com 3 bits:
- Em binário sem sinal, os valores vão de 0 a 7.
- Em complemento de 2, os valores vão de -4 a 3.
- 000 = 0
- 001 = 1
- 010 = 2
- 011 = 3
- 100 = -4
- 101 = -3
- 110 = -2
- 111 = -1
Como já citado anteriormente, o intervalo de representação muda para [-2ⁿ⁻¹, 2ⁿ⁻¹ − 1], onde n é a quantidade de bits.
No caso de 3 bits:
→ intervalo: [-4, +3]
Exemplo Prático (A > B):
Subtrair 011101₂ – 010011₂:
- A = 01010011₂
- B = 00010011₂
- Complemento de 1 de B = 11101100₂
- Complemento de 2 = 11101101₂
- Soma:
01010011₂ + 11101101₂ = 101000000₂ - Resultado final (despreza o “vai um”): 001000000₂
Resultados Negativos com Complemento de 2 (A < B)
Se o minuendo A for menor que B, o método tradicional falha, mas o complemento de 2 pode ser usado.
Exemplo:
01010011₂ – 01110011₂ = 11100000₂
Multiplicação Binária
A multiplicação binária é um processo análogo à multiplicação decimal, porém mais simples devido ao fato de que a base binária possui apenas dois algarismos: 0 e 1.
Etapas da Multiplicação Binária
A multiplicação binária segue o mesmo princípio do método tradicional de “multiplicar e somar” da base decimal:
1. Multiplicação dos Dígitos
- 0 multiplicado por qualquer número é 0
- 1 multiplicado por qualquer número é o próprio número
2. Deslocamento
Cada produto parcial é deslocado para a esquerda, de acordo com a posição do dígito do multiplicador que o gerou (como acontece na multiplicação decimal com os zeros).
3. Soma dos Produtos Parciais
Todos os produtos parciais são somados, utilizando as regras da soma binária, com o conceito de “vai um” (carry).
Exemplo Prático
Multiplicação de 101₂ por 11₂ (equivalente a 5 × 3 em decimal):
Resultado: 1111₂
Convertendo para decimal:
1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰
= 8 + 4 + 2 + 1 = 15
Portanto, 5 × 3 = 15, como esperado.
Importância
Esse método de multiplicação é essencial na construção de circuitos digitais, especialmente na implementação de unidades aritméticas dentro de processadores, que realizam operações de multiplicação de forma lógica.