Sistemas de Numeração e Conversão de Bases

Sistemas Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal

Bases Numéricas: Definição e Uso em Computação

Estamos acostumados com a base 10 (decimal), onde os algarismos válidos são de 0 a 9. No entanto, essa escolha é arbitrária. Os computadores são digitais e operam na base 2 (binária), usando apenas os algarismos 0 e 1, representados por sinais elétricos (ex: 0 Volts → 0; 5 Volts → 1).

Além da base 2, as bases Octal (base 8) e Hexadecimal (base 16) são comuns na computação por facilitarem a conversão com a base binária:

• Octal: Algarismos de 0 a 7.
• Hexadecimal: Algarismos de 0 a 9 e letras A a F.

Em geral, para uma base β ≥ 2, os algarismos válidos vão de 0 a β-1. Usamos subscritos para indicar a base, como 11₂ para binário. A ausência de subscrito indica base 10.

Veja a seguir a representação dos mesmos números em bases diferentes:

Binário	11010110₂	11010,001₂
Octal	326₈	32,1₈​
Decimal	214₁₀	26,125₁₀
Hexadecimal	D6₁₆​	1A,2e0₁₆​

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Sistema Posicional e Forma Polinomial

Sistemas de numeração são posicionais, ou seja, a posição do dígito influencia seu valor. Exemplo em base 10:

347 = 3 × 10² + 4 × 10¹ + 7 × 10⁰

Em qualquer base β, a forma segue esse padrão, apenas troca-se o 10 por β

Veja o valor de casa número da base 2 representa em decimal:

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Conversão de Bases Numéricas

A conversão entre diferentes bases numéricas é um conceito fundamental na computação.

Para Decimal (de uma base β para decimal)

Para converter um número de qualquer base β para a base decimal, utilizamos sua forma polinomial. Cada dígito do número é multiplicado pela base elevada à potência correspondente à sua posição, começando da direita para a esquerda com a potência zero.
Pode-se fazer utilização da tabela que vimos antes também para facilitar a conversão.

• Exemplo para inteiros:

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De Decimal (inteiros para uma base β)

Para converter um número inteiro da base decimal para outra base β, emprega-se o método das divisões sucessivas. O número decimal é dividido pela base β repetidamente, e o resto de cada divisão é o algarismo convertido. O processo continua até que o quociente seja zero. O número convertido é lido de baixo para cima (do último resto para o primeiro).

• Exemplo: Converter 19₁₀​ para binário.

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De Decimal (racionais para uma base β)

Para converter a parte fracionária de um número decimal para outra base (por exemplo, binário), utilizam-se multiplicações sucessivas pela base. O algarismo binário é a parte inteira do resultado da multiplicação, e a parte fracionária é usada na próxima multiplicação. A parte inteira do número decimal é convertida separadamente.

• Exemplo: Converter 0,5625₁₀​ para binário.

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Bases Octal e Hexadecimal: Conversão Direta

As bases octal e hexadecimal são amplamente utilizadas na computação por serem potências de 2, o que simplifica a conversão para binário. A conversão entre binário e octal/hexadecimal é direta e pode ser feita por agrupamento de bits.

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Binário para Octal

Separe os algarismos binários em grupos de 3 bits, começando do bit menos significativo para o mais significativo. Cada grupo de 3 bits corresponde a um único algarismo octal.

• Exemplo: Converter 10010011101₂​ para octal.
  • 10 010 011 101₂
  • 10₂​ = 2₈​
  • 010₂​ = 2₈​
  • 011₂​ = 3₈​
  • 101₂​ = 5₈​
  • Unindo: 2235₈​.

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Octal para Binário

Converta cada algarismo octal para seus 3 dígitos binários equivalentes.

• Exemplo: Converter 1366₈​​ para binário.
  • 1₈ = 001₂​
  • 3₈ = 011₂​
  • 6₈ = 110₂​
  • 6₈ = 110₂​
    Assim, 1366₈​​ = 001 011 110 110₂​.

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Binário para Hexadecimal

Separe os algarismos binários em grupos de 4 bits (nibbles), novamente do bit menos significativo para o mais significativo. Cada grupo de 4 bits corresponde a um único algarismo hexadecimal.

• Exemplo: Converter 110010011101₂​​ para hexadecimal.
  • 1001 1110 0011₂​ 
  • 1001₂​ = 9₁₆
  • 1110₂​ = E₁₆
  • 0011₂​ = 3₁₆
  • Unindo: 9E3₁₆​.

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Hexadecimal para Binário

Converta cada algarismo hexadecimal para seus 4 dígitos binários equivalentes.

Conversão por tabela:

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Representações Infinitas (Dízimas)

Nem todos os números racionais possuem uma representação finita em outras bases numéricas.

Por exemplo, o número 0,1₁₀ não tem uma representação binária finita, resultando em uma dízima periódica:
0,1₁₀ = 0,000110011…₂

Em sistemas computacionais, esses valores são armazenados como aproximações, o que pode levar a erros de arredondamento. Quando esses erros se acumulam, podem causar falhas significativas.

Um exemplo real foi o incidente do míssil Patriot, ocorrido durante a Guerra do Golfo. Um erro de cálculo no tempo, causado pela imprecisa representação de 0,1 segundos em 24 bits, resultou em um desvio de meio quilômetro, impedindo a interceptação de um míssil inimigo.

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Bits, Bytes e Nibbles

• Bit: É a abreviação de “binary digit” (algarismo binário). Um bit é a menor unidade de informação em computação, representando um 0 ou um 1.
• Byte: Um conjunto de 8 bits. Na maioria das CPUs, a menor unidade de operação é um byte, e a memória é endereçada a byte.
• Nibble: O equivalente a meio byte, ou seja, 4 bits. É particularmente útil ao lidar com valores em hexadecimal.
• Palavra de dado: É a unidade natural de processamento de um sistema, uma sequência de bits de tamanho fixo processada em conjunto, por exemplo, 16 bits, 32 bits ou 64 bits.

 

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Capacidade de Representação

Capacidade de Representação

A capacidade de representar valores em um sistema numérico depende da base e da quantidade de algarismos (dígitos/casas) disponíveis.
Em uma base β, com n algarismos, podemos armazenar βⁿ possibilidades de valores.

Na base 10:

• Com 1 dígito: 10 possibilidades (0–9).
• Com 2 dígitos: 10² = 100 possibilidades (0–99).
• Com n dígitos: 10ⁿ possibilidades.

Na base 2:

• Com 1 bit: 2¹ = 2 possibilidades (0–1).
• Com 2 bits: 2² = 4 possibilidades.
• Com n bits: 2ⁿ possibilidades.

Para inteiros sem sinal com w bits, os números podem variar de 0 (00…000) até 2ʷ−1 (11…111).
O próximo número, 2ʷ (100…000), não pode ser representado em w bits.

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Exercícios

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