Representação Numérica em Computadores

Limitações de Representação em Computadores

Ao contrário da representação de números no papel, que pode usar tantos dígitos quantos forem necessários (limitada por recursos como papel e paciência), um computador digital possui um espaço finito para guardar informações. Toda informação é, em última instância, representada por um número, geralmente em formato binário, devido à facilidade de realizar cálculos na base 2.

Em um computador, os números são processados por grupos de algarismos binários de uma só vez, e não bit por bit. A unidade natural de processamento de um sistema digital é chamada de palavra de dado, que é uma sequência de bits com tamanho fixo, processada em conjunto. O tamanho dessa palavra pode variar entre sistemas (por exemplo, processadores de 32 ou 64 bits). O bit mais à esquerda é o Most Significant Bit (MSB), e o bit mais à direita é o Least Significant Bit (LSB).

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Inteiros Sem Sinal

Para números inteiros sem sinal em palavras binárias com w bits, os valores que podem ser representados variam de 0 até 2^w − 1. Por exemplo, com 3 bits, podemos representar números de 0 (000₂) até 7 (111₂). O próximo número na sequência, que não caberia em w bits, seria 2^w (representado como 100…000₂ com w+1 bits).

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Números Negativos

Para representar números negativos, é necessário reservar espaço na palavra binária para informações sobre o sinal, além dos próprios algarismos do número. Existem várias abordagens para isso:

Representação Sinal-Magnitude:

• Esta representação utiliza um bit específico para indicar o sinal do número.
  
  • Sinal +: o bit de sinal é 0.
    • 0110₂ = 6₁₀
  • Sinal −: o bit de sinal é 1.
    • 1110₂ = -6₁₀
• O restante dos bits representa a magnitude (valor absoluto) do número.

Vantagens: É simples de entender e de implementar.

Desvantagens: Apresenta duas representações para o zero (+0 e −0). Isso complica a aritmética, pois o sinal precisa ser tratado separadamente durante as operações de soma e subtração. Com w bits, o menor número representável é −(2w-1-1) e o maior é 2w-1-1

Representação em Complemento de 1:

• A conversão para esta representação ocorre apenas para números negativos.
• Para converter, basta inverter os níveis lógicos (bits) do número (0s viram 1s e 1s viram 0s).
  • 0111₂ = 7₁₀
  • 1000₂ = -7₁₀
• O bit mais significativo (MSB) ainda indica o sinal: 0 se positivo e 1 se negativo.

Vantagens: A conversão é simples, e as operações de soma e subtração são realizadas da mesma forma que para números sem sinal.

Desvantagens: Assim como no sinal-magnitude, possui duas representações para o zero (+0 e −0).

• A subtração A − B pode ser realizada como A + (−B), onde −B é o complemento de 1 de B, com a adição de 1 ao final (chamado de end-around carry).

 Representação em Complemento de 2:

• Esta representação é amplamente utilizada em computadores.
• O Complemento de 2 de um número binário é obtido calculando-se o Complemento de 1 e, em seguida, adicionando 1 unidade ao resultado.

Vantagens: Possui apenas uma representação para o zero, o que simplifica a lógica de hardware. Além disso, permite representar um número negativo a mais em comparação com as outras representações. As operações de soma e subtração são simples e unificadas, feitas da mesma forma que para números sem sinal.

Desvantagens: Pode não ser tão intuitivo para humanos, e as comparações diretas de valores (como determinar qual número é maior) podem ser menos evidentes em relação à representação em módulo e sinal.

• Com w bits, o intervalo não é simétrico.
  O menor número representável é −2^(w−1), e o maior é 2^(w−1) − 1.
  • Ou seja, com 4 bits podemos representar de -8 até +7.
• A operação A − B é realizada como A + (complemento de 2 de B), isto é:
  • A − B = A + (¬B + 1), desprezando o carry-out final.

Como analisar os Números em Complemento de 2

Se o bit mais significativo (primeiro da esquerda) for 0, o número é positivo (igual à conversão normal para decimal).

Se o bit mais significativo for 1, o número é negativo.
Para saber qual valor ele representa:

1. Identifique o valor mínimo que pode ser representado:
   • Com 3 bits, o número 100 representa −4.
2. Some o valor dos bits restantes (como se fossem positivos).

Também é possível aplicar o método de complemento de 2 em um número que já está nesse padrão a fim de transformá-lo em sua versão positiva.

Etapas para transformar um número em complemento de 2:

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Extensão de Bits

Quando se precisa representar um número em uma palavra de comprimento maior que o comprimento original, por exemplo, um número inicialmente representado em 4 bits extendido para 8 bits, o processo de extensão de bits depende conforme a representação utilizada:

 

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Overflow / Underflow

Um erro de overflow (para números muito grandes) ou underflow (para números muito pequenos) ocorre toda vez que uma operação aritmética (como a soma) resulta em um número que precisa de mais bits do que os disponíveis na representação que está sendo utilizada.

Detecção de Overflow/Underflow:

Esses erros só ocorrem ao somar dois números que possuem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Em soma binária com números em complemento de dois, o overflow pode ser detectado de duas formas:

• Comparando os bits de sinal:
  Se os dois operandos têm o mesmo bit de sinal, mas o resultado tem bit de sinal diferente, ocorreu overflow.
• Comparando os dois últimos carry-outs (da penúltima e da última posição):
  Se esses dois carry-outs são diferentes, ocorreu overflow.
  • Esse é o método mais usado em circuitos, pois é fácil de implementar com portas XOR.

• Um exemplo de overflow em complemento de dois com 3 bits é somar +1 (001₂) a +3 (011₂): o resultado esperado é +4, mas com 3 bits, 011 + 001 resulta em 100₂, que em complemento de 2 representa −4, indicando um overflow.

• A conversão de um inteiro sem sinal para um inteiro com sinal também pode causar overflow se o bit mais significativo do número sem sinal estiver sendo usado e não houver um bit livre para o sinal.
  • 1000₂ = 8₁₀
    Complemento de 2: 1000₂

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Exercícios

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